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高中數學重點知識點總結

2022-12-21 高考

　　高中以來作為主科的數學越來越難，導致一部分同學們不知道如何復習，該注意的地方在那里。以下是由祝福網編輯為大家整理的“高中數學重點知識總結”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

　　高中數學重點知識點總結

　　一、集合與簡易邏輯

　　1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性.

　　2.對集合，時，必須注意到“極端”情況：或 ;求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.

　　3.對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為

　　4.“交的補等于補的并，即 ”;“并的補等于補的交，即 ”.

　　5.判斷命題的真假關鍵是“抓住關聯字詞”;注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

　　6.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”;“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”;“非命題”的真假特點是“一真一假”.

　　7.四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”.

　　原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設、推矛、得果.

　　注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題” L.

　　8.充要條件

　　二、函數

　　1.指數式、對數式，

　　2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像( 中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個);函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”.

　　(2)函數圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個.

　　(3)函數圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像.

　　3.單調性和奇偶性

　　(1)奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同.

　　偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.

　　注意：(1)確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱.確定函數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對于偶函數而言有： .

　　(2)若奇函數定義域中有0，則必有 .即的定義域時，是為奇函數的必要非充分條件.

　　(3)確定函數的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、導數法;在選擇、填空題中還有：數形結合法(圖像法)、特殊值法等等.

　　(4)既奇又偶函數有無窮多個( ，定義域是關于原點對稱的任意一個數集).

　　(7)復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性;異性得減，減必異性”.

　　復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.復合函數要考慮定義域的變化。(即復合有意義)

　　4.對稱性與周期性(以下結論要消化吸收，不可強記)

　　(1)函數與函數的圖像關于直線 ( 軸)對稱.

　　推廣一：如果函數對于一切，都有成立，那么的圖像關于直線 (由“ 和的一半確定”)對稱.

　　推廣二：函數，的圖像關于直線 (由確定)對稱.

　　(2)函數與函數的圖像關于直線 ( 軸)對稱.

　　(3)函數與函數的圖像關于坐標原點中心對稱.

　　推廣：曲線關于直線的對稱曲線是 ;

　　曲線關于直線的對稱曲線是 .

　　(5)類比“三角函數圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為 .

　　如果是R上的周期函數，且一個周期為，那么 .

　　特別：若恒成立，則 .若恒成立，則 .若恒成立，則 .

　　三、數列

　　1.數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前項和公式的關系： (必要時請分類討論).

　　注意： ; .

　　2.等差數列中：

　　(1)等差數列公差的取值與等差數列的單調性.

　　(2) ; .

　　(3) 、也成等差數列.

　　(4)兩等差數列對應項和(差)組成的新數列仍成等差數列.

　　(5) 仍成等差數列.

　　(8)“首正”的遞等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和;

　　“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和;

　　(9)有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”-“奇數項和”=總項數的一半與其公差的積;若總項數為奇數，則“奇數項和”-“偶數項和”=此數列的中項.

　　(10)兩數的等差中項惟一存在.在遇到三數或四數成等差數列時，常考慮選用“中項關系”轉化求解.

　　(11)判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法(也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式).

　　3.等比數列中：

　　(1)等比數列的符號特征(全正或全負或一正一負)，等比數列的首項、公比與等比數列的單調性.

　　(3) 、、成等比數列; 成等比數列成等比數列.

　　(4)兩等比數列對應項積(商)組成的新數列仍成等比數列.

　　(8)“首大于1”的正值遞減等比數列中，前項積的最大值是所有大于或等于1的項的積;“首小于1”的正值遞增等比數列中，前項積的最小值是所有小于或等于1的項的積;

　　(9)有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”=“奇數項和”與“公比”的積;若總項數為奇數，則“奇數項和”=“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和.

　　(10)并非任何兩數總有等比中項.僅當實數同號時，實數存在等比中項.對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對 .也就是說，兩實數要么沒有等比中項(非同號時)，如果有，必有一對(同號時).在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中項關系”轉化求解.

　　(11)判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法(也就是說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式).

　　4.等差數列與等比數列的聯系

　　(1)如果數列成等差數列，那么數列 ( 總有意義)必成等比數列.

　　(2)如果數列成等比數列，那么數列必成等差數列.

　　(3)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列;但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件.

　　(4)如果兩等差數列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.

　　如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項，并構成新的數列.

　　注意：(1)公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究 .但也有少數問題中研究，這時既要求項相同，也要求項數相同.(2)三(四)個數成等差(比)的中項轉化和通項轉化法.

　　5.數列求和的常用方法：

　　(1)公式法：①等差數列求和公式(三種形式)，

　　②等比數列求和公式(三種形式)，

　　(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.

　　(3)倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和(這也是等差數列前和公式的推導方法).

　　(4)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉化為“一個新的的等比數列的和”求解(注意：一般錯位相減后，其中“新等比數列的項數是原數列的項數減一的差”!)(這也是等比數列前和公式的推導方法之一).

　　(5)裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

　　特別聲明：L運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討論.

　　(6)通項轉換法。

　　四、三角函數

　　1. 終邊與終邊相同( 的終邊在終邊所在射線上) .

　　終邊與終邊共線( 的終邊在終邊所在直線上) .

　　終邊與終邊關于軸對稱 .

　　終邊與終邊關于原點對稱 .

　　一般地：終邊與終邊關于角的終邊對稱。

　　與的終邊關系由“兩等分各象限、一二三四”確定。

　　2.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad) 。

　　3.三角函數符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正、

　　注意：

　　4.三角函數線的特征是：正弦線“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線“躺在軸上(起點是原點)”、正切線“站在點處(起點是 )”.務必重視“三角函數值的大小與單位圓上相應點的坐標之間的關系，‘正弦’ ‘縱坐標’、‘余弦’ ‘橫坐標’、‘正切’ ‘縱坐標除以橫坐標之商’”;務必記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關系. 為銳角 .

　　5.三角函數同角關系中，平方關系的運用中，務必重視“根據已知角的范圍和三角函數的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”;

　　6.三角函數誘導公式的本質是：奇變偶不變，符號看象限.

　　7.三角函數變換主要是：角、函數名、次數、系數(常值)的變換，其核心是“角的變換”!

　　角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換。

　　常值變換主要指“1”的變換：

　　三角式變換主要有：三角函數名互化(切割化弦)、三角函數次數的降升(降次、升次)、運算結構的轉化(和式與積式的互化).解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函數、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次。

　　注意：和(差)角的函數結構與符號特征;余弦倍角公式的三種形式選用;降次(升次)公式中的符號特征.“正余弦‘三兄妹— ’的聯系”(常和三角換元法聯系在一起 )。

　　輔助角公式中輔助角的確定： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.尤其是兩者系數絕對值之比為的情形有實數解。

　　8.三角函數性質、圖像及其變換：

　　(1)三角函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和周期性

　　(2)三角函數圖像及其幾何性質：

　　(3)三角函數圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換。

　　(4)三角函數圖像的作法：三角函數線法、五點法(五點橫坐標成等差數列)和變換法。

　　9.三角形中的三角函數：

　　(1)內角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方。

　　(2)正弦定理： (R為三角形外接圓的半徑)。

　　注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解。

　　(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型。

　　拓展閱讀：如何學好數學

　　1、精做題

　　數學能力的提高離不開做題，但當處理的題目達到一定的量后，決定復習效果的關鍵因素就不再是題目的數量，而在于題目的質量和處理水平。解數學題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數學知識和基本數學思想在解題中的意義和作用，研究運用不同的思維方法解決同一數學問題的多條途徑，在分析解決問題的過程中既構建知識的橫向聯系又養成多角度思考問題的習慣。

　　一節課與其抓緊時間大汗淋淋地做三十道考查思路重復的題，不如深入透徹地掌握一道典型題。

　　2、學會節省做題時間

　　要重視和加強選擇題的訓練和研究。不能僅僅滿足于答案正確，還要學會優化解題過程，追求解題質量，少費時，多辦事，以贏得足夠的時間思考解答高檔題。要不斷積累解選擇題的經驗，盡可能小題小做，除直接法外，還要靈活運用特殊值法、排除法、檢驗法、數形結合法、估計法來解題。解法的差異，速度的差異，正體現了學生不同層次的思維水平。

　　3、做好改錯反思，每個學生都有一個改錯本

　　在復習過程中，難免會出現一些大大小小的失誤，也會遇到一些攔路虎，這時候，可能要么束手無策，要么費了九牛二虎之力才能解決，要么是問題雖然解決了，但自我感覺不好———或是思路不清，東拼西湊才找到答案;或是解法繁瑣，不盡人意。碰到這種情況不要緊張，這正是拓展思維、提高能力的契機，不要輕易放過。

　　“錯誤是最好的老師”，我們要認真的糾正錯誤，當然，更重要的是尋找錯因，及時進行總結，三、五個字，一、兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次;輕描淡寫，文過飾非的查錯因是沒有實質性的意義的。只有認真的追根溯源的查找錯因，教訓才會深刻。

　　在復習過程中，要注意多學習，多更新，不要固守自己熟悉但落后的方法習慣，要向老師學，向其它同學學，取人之長，補己之短。要做好解題后的反思，清理解題思路，尋求最佳解答方法，以達到舉一反三、融會貫通的目的。

　　4.養成好習慣

　　好的習慣終生受益，不好的習慣終生后悔，吃虧。

　　一慢一快，穩中求快，立足一次成功：

　　解題時審題要慢，要看清楚，步驟要到位，動作要快，步步為營，穩中求快，立足于一次成功，不要養成唯恐做不完，匆匆忙忙搶著做，寄希望于檢查的壞習慣。這樣做的后果一則容易先入為主，致使有時錯誤難以發現;二則一旦發現錯誤，尤其是起步就錯，又要重復做一遍，既浪費時間，又造成心理負擔。

　　注意書寫規范，重要步驟不能丟，丟步驟=丟分。

　　考試中應統籌安排時間，先易后難，不要在一道題上花費太多時間，有時放棄可能是最佳選擇。

　　5.正確處理傳統內容與新增內容

　　無論是陳題新題，傳統內容還是新增內容，要點在于訓練學生的思維理解，分析問題、解決問題的能力。

　　6.提高運算能力

　　堅持長期訓練培養，注重算理，注意近似計算，估算，心算，以想代算。

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