高中數學函數知識點總結

　　高中數學函數知識點學函數知識點嗎？如果沒有，來小編看看。以下是祝福網小編整理的高中數學函數知識點總結，僅供參考。歡迎閱讀。

　　高中數學函數知識點總結

　　(一)映射、函數、反函數

　　1.對應、映射和函數的概念既有共性又有差異。映射是一種特殊的對應，函數是一種特殊的映射.

　　2.函數概念應注意以下幾點:

　　(1)掌握構成函數的三個要素，判斷兩個函數是否為同一函數.

　　（2）掌握三種表示方法-列表方法、分析方法和圖像方法，可以根據實際問題尋求變量之間的函數關系，特別是分段函數的分析方法.

　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.

　　3、求函數y=f(x)反函數的一般步驟：

　　(1)確定原函數的值域，即反函數的定義域；

　　(2)由y=f(x)分析式求出x=f-1(y);

　　(3)將x，y習慣性表達式的反函數對換y=f-1(x)，并注明定義域.

　　注意①：對于分段函數的反函數，首先在各段找出反函數，然后合并在一起.

　　②熟悉應用，求f-1(x0)值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化操作.

　　(2)函數的分析和定義域

　　1.函數及其定義域是一個不可分割的整體，沒有定義域的函數不存在。因此，要正確寫出函數的分析，必須在找出變量之間的相應規則的同時找出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種:

　　(1)有時一個函數來自一個實際問題，當自變量x具有實際意義時，應結合實際意義考慮定義域；

　　(2)已知函數的解析式要求其定義域，只要使解析式有意義.如：

　　①分母不得為零；

　　②偶次方根被開方數不小于零；

　　③對數函數的真數必須大于零；

　　④指數函數和對數函數的底數必須大于零，不等于1；

　　⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

　　需要注意的是，當一個函數的分析類型由幾個部分組成時，定義為自變量值的公共部分（即交叉）.

　　(3)已知一個函數的定義域，要求另一個函數的定義域主要考慮定義域的深刻含義.

　　已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]定義域是指滿足a≤g(x)≤bx的值范圍已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)定義域，即g(x)的值域.

　　2.求函數的分析一般有四種情況

　　(1)根據實際問題建立函數關系時，必須引入適當的變量，根據數學知識尋求函數的分析.

　　(2)有時題設給出函數特征，求函數的分析可以采用待定系數法.例如，函數是一個函數，可以設置f(x)=ax b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件列出方程組a，b即可.

　　(3)如果題設給出復合函數f[g(x)]在表達式中，可以用換元法求函數f(x)此時，必須找出表達式g(x)值域相當于求函數的定義域.

　　(4)若已知f(x)這個等式除了滿足某個等式f(x)除未知量外，還有其他未知量(如未知量)f(-x)，等)，必須根據已知等式構建其他等式組成方程組，并使用解方程組法找f(x)的表達式.

　　(3)函數的值域和最值

　　1.函數值域取決于定義域和相應規則。無論采用何種方法尋求函數值域，都應首先考慮其定義域。尋求函數值域的常用方法如下：

　　(1)直接法:又稱觀察法。對于結構相對簡單的函數，函數的分析應用不等式的性質可以直接觀察到.

　　(2)換元法:使用代數或三角換元將給出的復雜函數轉換為另一個簡單的函數再求值域。如果函數分析包含根式，則在根式中使用代數換元，在根式中使用代數換元。.

　　(3)反函數法:使用函數f(x)與其反函數f-1(x)原函數的值域是通過求反函數的定義域獲得的(a≠這種方法可以獲得0)函數值域.

　　(4)配方法:可以考慮與二次函數或二次函數相關的函數的值域.

　　(5)不等式法求值域:使用基本不等式a b≥[a，b∈(0， ∞)]可以要求某些函數的值域，但要注意一正二定三相等的條件，有時需要平方等技能.

　　(6)判別法:把y=f(x)變形為x的一元二次方程，使用△≥0”求值域.題型的特征是分析式包含根式或分式.

　　(7)使用函數的單調性求值域:當函數確定函數在其定義域(或某個定義域的子集)的單調性時，可以通過單調性法找到函數的值域.

　　(8)數形結合法求函數的值域:利用函數表示的幾何意義，借助幾何方法或圖像，找出函數的值域，即數形結合求函數的值域.

　　2.求函數的最大值與值域之間的差異和聯系

　　求函數最值的常用方法與求函數值域的方法基本相同。事實上，如果函數值域中有最小（大）數，則該數為函數的最小（大）值.因此，求函數的最值和值域本質上是相同的，但問題的角度是不同的，所以回答問題的方式是不同的.

　　如果函數的值域是(0，16]，最大值是16，沒有最小值.再比如函數的值域(-∞，-2]∪[2， ∞)，但該函數沒有最大值和最小值，只有在函數定義域發生變化后x>0時，函數的最小值為2。可見定義域對函數值域或最大值的影響.

　　3.函數的最大值應用于實際問題

　　函數最值的應用主要體現在函數知識的實際問題上，通常表現為最低工程成本、最大利潤或面積（體積）最大（最小）等實際問題，特別注意自變量的實際意義，以正確獲得最值.

　　(4)函數的奇偶性

　　1.函數奇偶性的定義:函數f(x)，如果函數定義域中的任何一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)稱為奇函數(或偶函數).

　　要正確理解奇函數和偶函數的定義，我們應該注意兩點：（1）數軸上的定義域f(x)奇函數或偶函數的必要條件不足；(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域的整體性質).

　　2.奇偶函數的定義是判斷奇偶函數的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要簡化函數或等價應用定義：

　　注意以下結論的應用：

　　(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)偶函數總是；

　　(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，所以在D1∩D2上，f(x) g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似于奇怪±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函數復合函數的奇偶性通常是偶函數；

　　(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

　　3.奇偶性的幾個性質和結論

　　(1)一個函數是奇函數的充要條件，它的圖像是關于原點對稱的；一個函數是偶函數的充要條件，它的圖像是關于y軸對稱的.

　　(2)如果函數的定義域對稱原點，函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.

　　(3)若奇函數f(x)在x=0有意義，則f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間的單調性相同(反)。

　　(5)若f(x)原點對稱的定義域，F(x)=f(x) f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

　　(6)奇偶推廣

　　函數y=f(x)定義域內的任何x都有f(a x)=f(a-x)，則y=f(x)關于直線的圖像x=a對稱，即y=f(a x)為偶函數.函數y=f(x)定義域內的任-x都有f(a x)=-f(a-x)，則y=f(x)圖像關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a x)為奇函數。

　　拓展閱讀:總結初中所有函數知識點

　　1、一次函數

　　2、二次函數

　　三、反比例函數

　　4.正比函數

　　1.正比例函數的求法

　　形如y=kx(k為常數，k不等于0)，y稱為x的正比函數.

　　圖像練習：1.帶定系數 2.描點 3.連線

　　圖像是一條必須通過坐標軸原點的直線

　　性質:當k>0時，圖像通過一、三象限，y隨著x的增加而增加

　　當k<0時，圖像通過二、四象限，y隨著x的增加而減少

　　形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 函數，稱為反比例函數。

　　自變量x的值范圍不等于0的所有實數。

　　二、反比例函數求法

　　反比函數的圖像是雙曲線。它可以無限接近坐標軸，但永不相交.

　　性質:當k>0時，圖像在一、三象限內，y隨著x的增加而減少，

　　當k<0時，圖像在每個象限內，y隨著x的增加而增加

　　形如y=kx b(k為常數，k不等于0)，y稱為x的正比函數。

　　三、一次函數求法

　　正比函數超過原點(0，0)，屬于一次函數

　　k>0,b>O,圖像超過1、2、3象限

　　k>0,b<0、圖像超過1、3、4象限

　　k<0,b>0、圖像超過1、2、4象限

　　k<0,b<0、圖像2、3、4象限

　　四、二次函數求法

　　二次函數：y=ax^2 bx c (a,b,c是常數，a不等于0)

　　a>0開口向上

　　a<0開口向下

　　a,b對稱軸在y軸左側，反之亦然

　　|x1-x2|=根號下b^2-4ac除以|a|

　　與y軸交點為(0，c)

　　b^2-4ac>0，ax^2 bx c=0有兩個不相等的實根

　　b^2-4ac<0，ax^2 bx c=0無實根

　　b^2-4ac=0，ax^2 bx c=0有兩個相等的實根

　　對稱軸x=-b/2a

　　頂點(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　頂點式y=a(x b/2a)^2 (4ac-b^2)/4a

　　函數向左移動d(d>0)單位分析為y=a(x b/2a d)^2 (4ac-b^2)/4a,向右就是減

　　函數向上移動d(d>0)單位分析為y=a(x b/2a)^2 (4ac-b^2)/4a d,向下就是減

　　當a>0時，開口向上，拋物線在y軸上方(頂點在x軸上)，向上無限延伸；當a<0時，開口向下，拋物線在x軸下方(頂點在x軸上)，向下無限延伸。|a|開口越大，開口越小；|a|開口越小，開口越大.

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