2015江西省重點中學四校聯考數學理試題及答案

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泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學 2015屆高三第一次聯考數學(理科)試卷
命題人：吉水中學 周湖平 吉安縣中 曾廣述
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．已知集合 ，集合 ，則 （ ）
A．［-1，0］B．［0，1］C．［0，2］D．［-1，1］
2．已知 ，若Z為實數，則正整數n的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．設 （ ）
A． B． C． D．
4．下列命題正確的個數有（ ）
（1）存在 ，使得
（2）“ ”是“ ”的充要條件
（3）若 ，則
（4）若函數 在 有極值 ，
則
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．已知某種程序框圖如圖所示，則執行該程序后輸出的結果是（ ）
A． B．
C． D．
6．在集合 的所有非空子集中，任取一個集合 ，恰好滿足條件“若 ，則 ”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知下面正三棱柱的俯視圖如右圖所示，則這個三棱柱外接球的體積為（ ）

A．28 B． C． D．
8．向邊長為2米的正方形木框ABCD內隨機投擲一粒綠豆，記綠豆落在P點，則
∠DPC∈(0， )的概率為（ ）
A． 1－ B．1－ C． D．
9．雙曲線C的左、右焦點分別為 恰 為拋物線 的焦點，設雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若 是以A 為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
10．若非零向量 滿足 ，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數 有4個零點 ，且 ，則
（ ）
A．0B．1C．2D．32
12．已知數列 是等差數列，且 ， ， ，則 的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．使 的展開式中系數大于200的項共有　項.　
14．設橢圓 的左焦點為 ，右焦點為 ,以 為直徑的圓與橢圓在 軸上方部分交于點 ，則 = .
15．在 中，內角A、B、C的對邊分別是 ，若 ，且 ，則 _____________。
16. 氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續5天的平均溫度均不低于22 ”，現有甲、乙、丙三地連續5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數）
（1）甲地：5個數據的中位數為24，眾數為22
（2）乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為24
（3）丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8，則肯定進入夏季的地區是　.
三、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分，解答應寫出文明說明、證明過程或演算步驟。）
17.已知 ， ，其中 ，若函數 ，且 的對稱中心到 對稱軸的最近距離不小于 。
（1）求 的取值范圍。
（2）在 中， 分別是角A、B、C的對邊，且 ，當 取最大值時， ，求 的面積。

18．某工廠生產A、B兩種型號的玩具，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于83為正品，小于83為次品，現隨機取這兩種玩具進行檢測，檢測結果統計如下：
測試指標［70，76)［76，83)［83，88)［88，94)［94，100)
玩具A（件）
8
12
40
32
8

玩具B（件）71840296
（1）試分別估計玩具A為正品的概率和玩具B為正品的概率；
（2）生產1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元，在（1）的前提下，
（i）記 為生產1件玩具A和1件玩具B所得的總利潤，求隨機變量 的分布列和數學期望；
（ii）求生產5件玩具B所獲得的利潤不少于140元的概率.

19.如圖，在 中， ， ，點 在線段 上，且 平分 ，將 沿 折成二面角 （點B與S重合），且 .
（1）求證：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.

20．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E的中心為原點， 分別為E的左、右焦點，過F1的直線l交E于A、B兩點，且 。
（1）求橢圓E的方程；
（2）過圓O： 上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線斜率都存在，試探究這兩條切線斜率之間的關系。
21．已知函數
（1）當a=1時，求 在點 處的切線方程，判斷切線與 圖象的公共點個數，并說明理由；
（2）若 有兩個不同的零點 ，求證： .

四、選做題（請考生從22、23、24三題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑，共10分） 精品小說推薦： 昔日落魄少年被逐出家族，福禍相依得神秘老者相助，從此人生路上一片青雲！ 我行我瀟灑，彰顯我性格！ 彆罵小爺拽，媳婦多了用車載！ 妹紙一聲好歐巴，轉手就是摸摸大！ “不要嘛！” 完整內容請點擊辣手仙醫

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