2015江西省重點中學四校聯考數學理試題及答案

22．如圖，已知AD為圓O的直徑，直線BA與圓O相切于點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12
（1）求證：BA DC=GC AD　；
（2）求BM.

23．在直角坐標系 中，以原點O為極點，以 軸正半軸為極軸，與直角坐標系 取相同的長度單位，建立極坐標系，已知點P的極坐標為 ，直線 的極坐標方程為 cos =a，且點P在直線 上。
（1）求a的值及直線 的直角坐標方程；
（2）設曲線C的參數方程 ( 為參數)，求曲線C上的點到直線 的最大值.

24．已知關于 的不等式
（1）當 ，求此不等式的解集；
（2）若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍.

泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學2015屆高三第一次聯考數學試卷(理科)答題卡
一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）
題號123456789101112
答案
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．___________________ 14．__________________
15．___________________ 16．__________________
三、解答題（共70分）
17.（12分）

18.（12分）

19.（12分）

20.（12分）

21.（12分）

選做題（22、23、24中選一題做）（10分）
22. □ 23. □ 24. □

泰和中學 吉安縣中吉水中學 永豐中學 2015屆高三第一次聯考數學（理科）答案

1-6 B C D B D C
7-12 D A A D B B
13. 2 14. 15. 16. 甲和丙
17.



由余弦定理得：
………………12分
18、（1）估計玩具A為正品的概率為 ……1分
估計玩具B為正品的概率為 ……2分
（2）①隨機變量 的所有可能取值為90，45，30， 。

……6分
所以，隨機變量 的分布列為：

904530
P


……8分
②設生產的5件玩具B中正品有 件，則次品有( )件，依題意得 解得 ，所以 或 ，設“生產5件玩具B所獲得利潤不小于140元”為事件C，則 。……12分

19. 解：（1）過點S作SH CP于H，連AH，則
，又

又 即
又
平面ACP， 平面SPC平面APC ……6分
（2）方法一：以H為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則 .
, ,
,設平面SPC與平面SCA的法向量分別為 ,則顯然 ,計算易得 .設二面角 的大小為 ,則 .
……12分
方法二：過H作 交AC于點M,則 平面SCP,過H作 于點N,連接MN,則 為二面角 的平面角,又
. ……12分
20．解：（1）設橢圓E的方和是
知
…………………………………………………………5分
（2）兩切線互相垂直………………………………………………………6分
設點 且與橢圓E相切的切線 的方程為
聯立


設滿足題意的切線的斜率為k1、k2，則

兩條切線相互垂直。………………………………………………12分
21、解: （1）當 時， ，
，又 切線方程為 ……2分
切線 與 的圖象只有一個交點，證明如下：
當 時， ， 單調遞增 ；當 時， ， 單調遞減，所以 ，所以切線 與 的圖象只有一個交點。……5分
（2）不妨設 ，因為 ，所以 ， ，可得 ，要證明 ，即證明 ，也就是 。因為 ，所以即證明 ，即 ，令 ，則 ，于是 。
令 ，則 ，故函數 在 是增函數，所以 ，即 ，所以原不等式成立。……12分
四、選考題：在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
22、解：(1） ，
，則 ，
而 ，……5分

（2） ， ，則 ， ， ，即 ， ， ，延長BO交 O于點N，則
，解得 ……10分

23、解：（1） 直線 ：
， ，則
……5分
（2）
……10分

24、解：（1） 時，原不等式可化為 ，即
（i） 時， ，則
（ii） 時， ，則 ，
綜上原不等式的解集為 或 ……5分
（2）依題意， 在 上恒成立，
由圖象可得只需 或 ，即 或 ……10分

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